🤔 Na čo mi to bude #3 – tangens
Nebezpečné stúpanie, vzdialenosť schodiska od steny alebo sklon strechy domu. Na všetko sa využíva práve tangens. Tangens potrebuješ všade tam, kde narábaš s naklonenou rovinou.
Pôvodný význam slova tangens pochádza z latinského tangere, čo znamená „dotýkať sa“. Zvláštne, že niečo, čo sa dotýka, má vzťah k uhlom a sklonom. Poďme dnes preskúmať bez vzorčekov, ako to funguje a na čo to je dobré.
Starí Gréci skúmali kruhy a trojuholníky vo vzájomnom vzťahu všakovakými spôsobmi. Skúmali, čo sa deje, keď na kruh privažu priamku, dotyčnicu, a čo bude ukazovať uhol zo stredu kružnice jedným svojím ramenom na tejto priamke.
Výška, do akej siaha naklonená priamka na dotyčnici (modrý bod na obrázku vyššie) je práve tangens uhla 𝜽 (théta). Keď si uvedomíme, že kružnica na obrázku má polomer 1, tak tangens uhla 𝜽 je podiel tejto výšky h a polomeru 1, čo je vzorček (sorry):
A toto číslo je práve ten tangens. Animácia to ukazuje aj v čase.
Na čo mi to teda bude?
Zatiaľ sme sa pozreli na trochu histórie, aby si ľahšie vnímala súvislosti. Teraz tá praktická časť.
Nebezpečné stúpanie/klesanie
Keď cestuješ autom cez Donovaly, Šturec alebo Čertovicu, môžeš si všimnúť značky nebezpečného stúpania/klesania. Vyjadruje sa v percentách.
V tomto čísle je ukrytý tangens uhla, pod ktorým cesta stúpa/klesá. A nielen tak samoúčelne. Predstav si, že by značka vyzerala takto:
Alebo takto:
Alebo keby tam boli priamo stupne:
Všetky štyri verzie vyjadrujú to isté stúpanie. Cieľom pre dopravné značky je, aby boli rýchlo čitateľné. Nie sú to billboardy, kde treba aj drobným písmom uvádzať vzorček na výpočet tejto hodnoty. Šofér musí vedieť, že sa niečo pred ním vyskytuje a musí mať znalosť, ako vážne to je.
Keby sme používali značku v stupňoch (č. 4), nepôsobila by tak desivo, aká je realita. Jedenásť stupňové stúpanie/klesanie sa zdá byť zanedbateľné. Však do kolmej steny sme ďaleko. Lenže tu nejde o kolmú stenu. Land Rover Defender dokáže prekonať 100% stúpanie, čo je 45°.
To je už čo povedať. Skús sa pred taký kopec postaviť a prejsť ho pešo.
Keby na značke bolo uvedené desatinné číslo alebo zlomok (č. 2 a 3), mozgu by trvalo veľmi dlho, vzhľadom na rýchlosť vozidla, spracovať túto informáciu. A predstav si, že za volantom musíš zrazu rátať. 🤯
Percentá (značka č. 1) vyjadrujú pomer výšky modrého bodu od osi x voči polomeru kružnice. Buďme jednoduchší. Toto percento získaš tak, že vydelíš výšku kopca vzdialenosťou, ktorú musíš prekonať vozidlom, aby si do tej výšky došla. Obrázok ozrejmí viac.
Predstaviť si to môžeš ešte ako výšku, do ktorej vystúpaš, keď prejdeš dĺžkových 100 metrov meraných na rovine, ponad ktorú sa pohybuješ.
Stúpanie 20% je hodnota, ktorú mozog vníma výraznejšie, ako 11°. Na tom kopci si potom tých 11° v 🍺 môže spolujazdec dať.
Ešte raz, tých 20%, to je presne tangens uhla stúpania/klesania, ktoré je pred tebou.
Sklon strechy domu
Keď budeš stavať dom, celkom isto bude mať strechu. Ona takmer vždy potrebuje nejaký sklon. Aj tá rovná. Práve na získanie potrebných rozmerov a údajov, aby si mohla objednať správne množstvo materiálu a krytiny, potrebuješ tangens uhla tohto skonu.
Znovu sa používa tangens. Teraz sa pozri von oknom, koľko vidíš striech. 😉
Schodisko
Schodisko vždy smeruje k dverám, ktoré sú mimo úrovne zeme. Nad alebo pod. Otázkou je, kam má schodisko siahať, aby dvere dobre trafilo? Predpokladáš správne, použiješ tangens. Samozrejme, všetko závisí od šírky jednotlivých schodíkov. Po schodoch sa musí dobre kráčať.
Situácia sa môže aj otočiť. Vieš, do akej výšky bude schodisko siahať a vieš, odkiaľ bude k dverám smerovať. Pomocou tangensu spočítaš uhol, pod ktorým bude schodisko stúpať a z neho potom vyrátaš rozmery jednotlivých schodíkov, aby všetko dobre zapadlo.
Sľúbil som bez vzorčekov, ale pre tento obrázok sa jeden hodí. A síce, že pomery strán vo väčšom trojuholníku (schodisko) a pomery strán v menšom trojuholníku (schod) sú rovnaké.
Tento pomer sa volá tangens uhla 𝜽 (théta), pod ktorým schodisko stúpa k dverám.
Nebudeme tu teraz zachádzať do veľkých detailov, už by sme potrebovali viacej symbolickej matematiky, ako rétorickej. Ale predpokladám, že vieš, kam tým mierim.
A vôbec
Všetky vyššie spomínané použitia zo svojej podstaty generujú kvalitne odvedenú prácu, za ktorú sú peniaze. Ak matike rozumieš, vieš si zarábať viac, ako tí, ktorí to nevedia. Lebo budeš presná a tvoja práca bude vyzerať pekne a profi.
Maj abs(matematický) deň.
Prečítaj si aj
🤔 Na čo mi to bude #2 – Pytagorova veta
Predstav si, že vieš, aký veľký obdĺžnik ideš urobiť. Napríklad si robíš záhradku, staviaš altánok alebo vystrihávaš z papiera. Keďže má obdĺžnik pravé uhly a ty nemáš uhlomer, potrebuješ techniku na zabezpečenie, aby boli pri rohoch krásne pravé uhly.